Question

已知数列{an}，an＞0，am•an=2m+n，m，n∈N*．

Answer 1

解题思路：（1）令n=m=1可求得a₁，然后令m=1，n=n+1，可得a_n，a_n+1，由等比数列的定义可判断，并求得通项公式；

（2）由nb_n与S_n的关系可求得nb_n，从而可得b_n，

a

n

(n+1)

b

n

，运用裂项相消法可求和；

（1）由题意得，a1•a1＝22，a₁＞0，得a₁=2，

且a1•an＝21+n，a1•an+1＝22+n，

所以

an+1

an=2，且a_n≠0，

所以：{a_n}为等比数列，通项公式an＝2n；

（2）由S_n=n（n+1）a_n，当n=1时，得b₁=1×（1+1）a₁=4，

当n≥2时，Sn＝n(n+1)•2n，①

Sn−1＝n(n−1)•2n−1，②

①-②得nb_n=n（n+3）•2^n-1，即bn＝(n+3)•2n−1，

b₁=4满足上式，所以bn＝(n+3)•2n−1，

所以

an

(n+1)bn＝

2

(n+1)(n+3)=[1/n+1−

1

n+3]，

所以

a1

2b1+

a2

3b2+

a3

4b3+…+

an

(n+1)bn

=[1/2−

1

4+

1

3−

1

5]+[1/4−

1

6]+…+

1

n−1−

1

n+1+

点评：

本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查等比数列的定义、通项公式，考查数列求和，裂项相消法对数列求和高考考查重点，应重点掌握．