充分性:由特征多项式为|λE-A|,-i不是根即有|-iE-A| ≠ 0,从而|A+iE| ≠ 0,即有A+iE可逆.必要性:A+iE可逆故|A+iE| ≠ 0,从而|-iE-A| ≠ 0,即-i不是特征多项式|λE-A|的根.而|λE-A|是实系数多项式,因此虚根成对.可知i也不是特征根,否则-i也为特征根,矛盾.因此±i都不是A的特征根.
设A是n阶实矩阵,i=1.证明:A+iI为可逆矩阵的充分必要条件是±i都不是A的特征根.
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