Question

已知x=-2和x=1为函数f（x）=x2ex-1+ax3+bx2（a，b∈R）的两个极值点．

Answer 1

解题思路：（1）根据题意，求出f（x）的导函数，令导函数在-2，1处的值为0，列出方程组，求出a，b的值．

（2）求出f（x）-g（x）的解析式，将差因式分解，构造函数h（x），利用导函数求出h（x）的最小值，判断出差的符号，判断出f（x）与g（x）的大小关系．

（1）f'（x）=2xe^x-1+x²e^x-1+3ax²+2bx=xe^x-1（x+2）+x（3ax+2b），

由x=-2和x=1为f（x）的极值点，得

f′(−2)＝0

f′(1)＝0]

即

−6a+2b＝0

3+3a+2b＝0

解得

a＝−

1

3

b＝−1

（2）由（1）得f（x）=x²e^x-1-[1/3]x³-x²，

故f（x）-g（x）=x²e^x-1-[1/3]x³-x²-（

2

3x3−x2）=x²（e^x-1-x）．

令h（x）=e^x-1-x，则h'（x）=e^x-1-1．

令h'（x）=0，得x=1．

h'（x）、h（x）随x的变化情况如表：

x（-∞，1）1（1，+∞）

h'（x）-0+

h（x）↘0↗由上表可知，当x=1时，h（x）取得极小值，也是最小值；即当x∈（-∞，+∞）时，h（x）≥h（1），

也就是恒有h（x）≥0．

又x²≥0，所以f（x）-g（x）≥0，

故对任意x∈（-∞，+∞），恒有f（x）≥g（x）．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查函数在极值点处的导数值为0；考查利用导数判断函数的单调性、考查通过导数求函数的最值进一步证明不等式．属于中档题．