一个数学数列求和1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+4*(n-3)+...+(n-2)*3+(n-1)*2+n*1=

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  • 1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+4*(n-3)+...+(n-2)*3+(n-1)*2+n*1

    =1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+4*(n-3)+...+(n-2)*[n-(n-3)]+(n-1)*[n-(n-2)]+n*[n-(n-1)]

    =1*n+2*n+3*n+...+n*n-[2*1+3*2+4*3+...+n*(n-1)]

    =n(1+2+3+...+n)-[2*1+3*2+4*3+...+n*(n-1)]

    =n*n(n+1)/2-[2*1+3*2+4*3+...+n*(n-1)]

    2*1+3*2+4*3+...+n*(n-1)

    =1*0+2*1+3*2+4*3+...+n*(n-1)

    实际上就是:An=n*(n-1)的前n项和

    下面推导:

    An=n*(n-1)=n^2-n

    Sn=1^2+2^2+3^2+……+n^2-(1+2+3+4+...+n)

    =1^2+2^2+3^2+……+n^2-n(n+1)/2

    因为:

    n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

    =n^2+(n-1)^2+n^2-n

    =2*n^2+(n-1)^2-n

    2^3-1^3=2*2^2+1^2-2

    3^3-2^3=2*3^2+2^2-3

    4^3-3^3=2*4^2+3^2-4

    .

    n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

    各等式全相加

    n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

    n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

    n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

    n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

    3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)

    =(n/2)(n+1)(2n+1)

    1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

    Sn=1^2+2^2+3^2+……+n^2-(1+2+3+4+...+n)

    =n(n+1)(2n+1)/6 -n(n+1)/2

    所以:

    1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+4*(n-3)+...+(n-2)*3+(n-1)*2+n*1

    =n*n(n+1)/2-[2*1+3*2+4*3+...+n*(n-1)]

    =n*n(n+1)/2-[n(n+1)(2n+1)/6 -n(n+1)/2]

    =n(n+1)^2/2-n(n+1)(2n+1)/6

    =n(n+1)*[3(n+1)-(2n+1)]/6

    =n(n+1)(n+2)/6