如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A为顶点的抛物线

1个回答

  • (1)A(1,4)

    由题意知,可设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4

    ∵抛物线过点C(3,0),

    ∴0=a(3-1)2+4,

    解得,a=-1,

    ∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3

    (2)∵A(1,4),C(3,0),

    ∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6.

    ∵点P(1,4-t).…(3分)

    ∴将y=4-t代入y=-2x+6中,解得点E的横坐标为x=1+t2

    ∴点G的横坐标为1+t2,代入抛物线的解析式中,可求点G的纵坐标为4-t²4

    ∴GE=(4-t²4)-(4-t)=t-t²4

    又点A到GE的距离为t2,C到GE的距离为2-t2

    即S△ACG=S△AEG+S△CEG=12•EG•t2+12•EG(2-t2)=12•2(t-t²4)=-14(t-2)2+1

    当t=2时,S△ACG的最大值为1

    (3)第一种情况如图1所示,点H在AC的上方,由菱形CQHE知CQ=CE=t,

    根据△APE∽△ABC,知

    APAB=AEAC即t4=2根号5-t2根号5,解得,t=20-8根号5

    第二种情况如图2所示,点H在AC的下方,由菱形CQHE知CQ=QE=EH=HC=t,PE=12t

    ,EM=2-12t,MQ=4-2t.

    则在直角三角形EMQ中,根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2,即(2-12t)2+(4-2t)2=t2

    解得,t1=2013,t2=4(不合题意,舍去).

    综上所述,t=20-8根号5或t=2013