令g(x)=f(x)-f(x+1)(x∈[0,n-1]),要证原命题,只需证g(x)存在零点.用反证法,假设g(x)无零点,由于g(0)=f(0)-f(1),g(1)=f(1)-f(2)...g(n-1)=f(n-1)-f(n),故g(0)+g(1)+...+g(n-1)=f(0)-f(n)=0
又g(0),g(1),...,g(n-1)均不为0,又它们的和为0,故它们不可能全为正或全为负,故存在两个整数a,b∈{0,1,...,n-1}(a＜b)使g(a)g(b)＜0,那么在(a,b)上g(x)有零点,与假设矛盾!
故g(x)有零点,即则存在一点ζ∈[0,n-1],满足f(ζ)=f(ζ+1）