一个自然数N共有9个约数,而N-1恰有8个约数,满足条件的自然数中,最小的和第二小的分别是多少?

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  • 解题思路:因为9=3×3=9×1,所以可以把N看做只有一个质因数或两个质因数,进一步从最小的质因数考虑,逐步探讨得出答案即可.

    根据约数个数公式可知:

    ①当N=an,即N只有一个质因数时,

    n+1=9,所以n=8,

    这样最小的N=28=256,

    N-1=255=3×5×17,

    恰好有(1+1)×(1+1)×(1+1)=8个约数,符合题意;

    ②当N=an×bm,即N有两个质因数时,

    (n+1)(m+1)=9,

    所以n=m=2,

    这样最小的N=22×32=36,N-1=35=5×7有(1+1)×(1+1)=4个约数,不符合题意;

    第二小的N=22×52=50,N-1=49=7×7有(1+1)×(1+1)=4个约数,不符合题意;

    第三小的N=22×72=196,N-1=195=3×5×13有(1+1)×(1+1)×(1+1)=8个约数,符合题意;

    综上所述,最小的N是196,第二小的是256.

    点评:

    本题考点: 约数个数与约数和定理.

    考点点评: 此题主要利用约数个数的计算方法:一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.