Question

复变函数的证明题设Z1,Z2,Z3,三点适合条件：Z1+Z2+Z3=0,IZ1I=IZ2I=IZ3I.证明Z1,Z2,Z

Answer 1

很简单,但是有一点我认为你可能说的不对,那就是无法求出三点在一个单位圆上

由于|Z1|=|Z2|=|Z3| 令|Z1|=|Z2|=|Z3|=r

设Z1=r(cosα+isinα) Z2=r(cosβ+isinβ) Z3=r(cosγ+isinγ)

因为Z1+Z2+Z3=0

则 r(cosα+cosβ+cosγ)+ir(sinα+sinβ+sinγ)=0

故 cosα+cosβ+cosγ=0 sinα+sinβ+sinγ=0

上面两式分别将cosγ sinγ移到等式的右边,再两边平方相加

得到 2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1

根据两角差的余弦公式 得到 cos(α-β)=-1/2

同理得到 cos(β-γ)=-1/2 cos(γ-α)=-1/2

故这里可以知道三点对应的复数的复角的差是120度

这样 可以知道Z1 Z2 Z3不但模相等而且两两夹角相等,所以Z1,Z2,Z3构成等边三角形,并且三点都在一个圆上,该等边三角形内接于该圆