Question

数列{an}中，a1=2，an+1=an+c•n（c是不为零的常数，n∈N+），且a1，a2，a3成等比数列．

Answer 1

解题思路：（1）由a₁，a₂，a₃成等比数列可得c的方程，解出即可；

（2）由（1）可知a_n+1=a_n+2n，运用累加法可求；

（3）表示出

a

n

-c

n•

c

n

，利用错位相减法可得T_n，根据T_n的单调性可求得其范围；

解（1）a₂=a₁+c=2+c，a₃=a₂+2c=2+3c，

依题意：

a22=a1•a3，即（2+c）²=2（2+3c），

解得 c=0（舍去），c=2；

（2）n≥2时，a₂-a₁=2，a₃-a₂=4，…a_n-a_n-1=2（n-1），

以上各式相加得a_n-a₁=2+4+…+2（n-1）=n（n-1）an=n2-n+2，

n=l时，a1=2=12-1+2，

所以∀n∈N*，an=n2-n+2；

（3）

an-c

n•cn=

n-1

2n，

Tn=

1

22+

2

23+

3

24…+

n-2

2n-1+

n-1

2n(n＞1)，2Tn=

1

2+

2

22+

3

23…+

n-2

2n-2+

n-1

2n-1，

以上两式相减得Tn=

1

2+

1

22+

1

23+…+

1

2n-1-

n-1

2n=1-

n+1

2n，

∵当n∈N₊时，y=

n+1

2n是减函数，且y=

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 本题考查等比数列的定义、利用递推式求数列通项即错位相减法对数列求和，属中档题．