已知函数f(x)=2sin(ωx),其中常数ω>0.

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  • 解题思路:(1)通过ω=1,求出函数F(x)=f(x)+f(x+[π/2])的表达式,利用正弦函数的单调区间求解函数的单调区间;

    (2)ω=2,得到函数的解析式,将函数y=f(x)的图象向左平移[π/6]个单位,再往上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象.求出g(x),对任意的a∈R,令y=g(x)=0,判断函数在区间[a,a+10π]上的周期数目,然后求解零点个数的所有可能值.

    (1)∵ω=1,∴函数F(x)=f(x)+f(x+[π/2])

    =2sinx+2sin(x+[π/2])

    =2sinx+2cosx

    =2

    2sin(x+

    π

    4),

    由2kπ−

    π

    2≤x+

    π

    4≤2kπ+

    π

    2,k∈Z,解得−

    4+2kπ≤x≤

    π

    4+2kπ,k∈Z,

    ∴其单调递增区间为[−

    4+2kπ,

    π

    4+2kπ] (k∈Z);

    由2kπ+

    π

    2≤x+

    π

    4≤2kπ+

    2,k∈Z,解得[π/4+2kπ≤x≤

    4+2kπ,k∈Z

    ∴其单调递减区间为[

    π

    4+2kπ,

    4+2kπ] (k∈Z).

    (2)ω=2时,f(x)=2sin2x,将函数y=f(x)的图象向左平移

    π

    6]个单位,再往上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象.

    ∴g(x)=2sin2(x+[π/6])+1=2sin(2x+[π/3])+1,

    其最小正周期T=π,

    由2sin(2x+[π/3])+1=0,得sin(2x+[π/3])=-[1/2],

    ∴2x+[π/3]=kπ−(−1)k•

    π

    6,k∈Z,即x=

    2−(−1)k•

    π

    12−

    π

    6,k∈Z,

    区间[a,a+10π]的长度为10个周期,

    若零点不在区间的端点,则每个周期有2个零点;

    若零点在区间

    点评:

    本题考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象.

    考点点评: 本题考查三角函数的解析式的求法单调区间的求法,函数的零点的求法,考查转化思想以及计算能力.