解题思路:(1)通过ω=1,求出函数F(x)=f(x)+f(x+[π/2])的表达式,利用正弦函数的单调区间求解函数的单调区间;
(2)ω=2,得到函数的解析式,将函数y=f(x)的图象向左平移[π/6]个单位,再往上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象.求出g(x),对任意的a∈R,令y=g(x)=0,判断函数在区间[a,a+10π]上的周期数目,然后求解零点个数的所有可能值.
(1)∵ω=1,∴函数F(x)=f(x)+f(x+[π/2])
=2sinx+2sin(x+[π/2])
=2sinx+2cosx
=2
2sin(x+
π
4),
由2kπ−
π
2≤x+
π
4≤2kπ+
π
2,k∈Z,解得−
3π
4+2kπ≤x≤
π
4+2kπ,k∈Z,
∴其单调递增区间为[−
3π
4+2kπ,
π
4+2kπ] (k∈Z);
由2kπ+
π
2≤x+
π
4≤2kπ+
3π
2,k∈Z,解得[π/4+2kπ≤x≤
5π
4+2kπ,k∈Z
∴其单调递减区间为[
π
4+2kπ,
5π
4+2kπ] (k∈Z).
(2)ω=2时,f(x)=2sin2x,将函数y=f(x)的图象向左平移
π
6]个单位,再往上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象.
∴g(x)=2sin2(x+[π/6])+1=2sin(2x+[π/3])+1,
其最小正周期T=π,
由2sin(2x+[π/3])+1=0,得sin(2x+[π/3])=-[1/2],
∴2x+[π/3]=kπ−(−1)k•
π
6,k∈Z,即x=
kπ
2−(−1)k•
π
12−
π
6,k∈Z,
区间[a,a+10π]的长度为10个周期,
若零点不在区间的端点,则每个周期有2个零点;
若零点在区间
点评:
本题考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象.
考点点评: 本题考查三角函数的解析式的求法单调区间的求法,函数的零点的求法,考查转化思想以及计算能力.