解题思路:延长DC至M,使CM=AE,利用“边角边”证明△ABE和△CBM全等,根据全等三角形对应边相等可得BM=BE,全等三角形对应角相等可得∠CBM=∠ABE,然后求出∠MBF=60°,从而得到∠EBF=∠MBF,利用“边角边”证明△BMF和△BEF全等,根据全等三角形对应边相等可得MF=EF,再根据MF=MC+CF整理即可得证.
证明:如图,
延长DC至M,使CM=AE,
在△ABE和△CBM中,
CM=AE
∠BCM=∠A=90°
AB=BC,
∴△ABE≌△CBM(SAS),
∴BM=BE,∠CBM=∠ABE,
∵∠D=60°,∠A=∠C=90°,
∴∠ABC=360°-60°-90°×2=120°,
∵∠EBF=60°,
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC-∠EBF=120°-60°=60°,
∴∠MBF=∠MCB+∠CBF=∠ABE+∠CBF=60°,
∴∠EBF=∠MBF,
在△BMF和△BEF中,
BM=BE
∠EBF=∠MBF
BF=BF,
∴△BMF≌△BEF(SAS),
∴MF=EF,
∵MF=MC+CF,
∴EF=AE+CF.
点评:
本题考点: 全等三角形的判定与性质.
考点点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质,本题利用“补短法”作辅助线构造出两对全等三角形,是解题的关键.