Question

如图，已知正方体ABCD﹣A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为1，E、F分别为AD 1 、BD的中点．

Answer 1

（1）证明：连接AC，在△AD ₁C中，

∵F为BD的中点，∴F为AC的中点

∵E为AD ₁的中点， ∴EF∥D ₁C

∵EF

平面B ₁D ₁C，D ₁C

平面B ₁D ₁C

∴EF∥平面B ₁D ₁C；

（2）取D ₁C的中点M，连接AM，B ₁M，B ₁A

∵△AD ₁C为正三角形，M为CD ₁的中点

∴AM⊥D ₁C 同理，

在正三角形B ₁D ₁C，B ₁M⊥D ₁C

∴∠AMB ₁为二面角B ₁﹣D ₁C﹣A的平面角

∵正方体ABCD﹣A ₁B ₁C ₁D ₁的棱长为1

∴

，

，

∴cos∠AMB ₁=

∴二面角B ₁﹣D ₁C﹣A的大小为arccos

；

（3）V _B1﹣ACD1=V _{ABCD﹣A1B1C1D1}﹣4V _B1﹣ABC=1﹣4×

×

×1×1=