Question

求自然数n，使Sn=9+17+25+…+（8n+1）=4n2+5n为完全平方数．

Answer 1

解题思路：先将4n²+5n写成n²（4+[5/n]）的形式，根据完全平方式的特点，可知（4+[5/n]）必定也是完全平方数，先求出n的取值范围，从而确定自然数n的值．

4n²+5n=n²（4+[5/n]）=p²．

若为完全平方数，则（4+[5/n]）必定也是完全平方数，

因为n是自然数，所以此时n若大于5，则不能使原式为整数，也谈不上完全平方数，

所以0＜n≤5 很容易看出n只能等于1才能使之成为完全平方数，

∴n=1时，使S_n=9+17+25+…+（8n+1）=4n²+5n为完全平方数．

点评：

本题考点： 完全平方数．

考点点评： 本题考查完全平方数的知识，难度较大，关键是将4n2+5n表示为n2（4+[5/n]）的形式，注意此题的解题思想．