Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，AD=1，AB=5，BC=4，点P是线段AB上一个动点，点E

Answer 1

解题思路：（1）根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可判定四边形PCFD的形状；

（2）设AP=x，利用△APD∽△BCP的对应边成比例即可求得．

（3）延长DA到G，使AG=AD、当点G、P、C共线时CP+PD最小，利用勾股定理分别求出PD、PC的长，然后可得GC，然后即可求出四边形PCFD的周长的最小值．

（1）∵点E是CD的中点，即EC=DE，

又∵EF=PE，

∴四边形PCFD为平行四边形；

（2）设AP=x，

∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，

∴△APD∽△BCP．

∴x：4=1：（5-x）．解得x₁=1，x₂=4；

答；当AP的长为1或4时，四边形PCFD是矩形；

（3）延长DA到G，使AG=AD、当点G、P、C共线时CP+PD最小，最小值为GC

GC=PD+PC，

∵∠A=∠B=90°，AD=1，AB=5，BC=4，

∴PD=

2，PC=4

2，

∴GC=5

2．

∴四边形PCFD的周长的最小值为10

2．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；直角梯形．

考点点评： 此题涉及到的知识点较多，有勾股定理，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，直角梯形，相似三角形的判定与性质，综合性强，有一定的拔高难度，是一道很典型的题目．