法一(I)如图:在△ ABC 中,由 E 、 F 分别是 AC 、 BC 中点,得 EF // AB ,
又 AB
平面 DEF , EF
平面 DEF ,∴ AB ∥平面 DEF .………………4分
(II)∵AD⊥CD,BD⊥CD,∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角,∴AD⊥BD,∴AD⊥平面BCD,取CD的点M,使EM∥AD,∴EM⊥平面BCD,过M作MN⊥DF于点N,连结EN,则EN⊥DF,
∴∠ MNE 是二面角 E — DF — C 的平面角.……6分设CD=a,则AC=BC=2a , AD=DB=
, △DFC中,设底边DF上的高为h由
,∴h=
在Rt△ EMN 中, EM =
, MN =
h=
,
∴tan∠ MNE =2从而cos∠ MNE =
……8分
(Ⅲ)在线段BC上不存在点P,使AP⊥DE,………… 9分
证明如下:在图2中, 作AG⊥DE,交DE于G交CD于Q
由已知得∠AED=120°,于是点G在DE的延长线上,
从而Q在DC的延长线上,过Q作PQ⊥CD交BC于P
∴PQ⊥平面ACD ∴PQ⊥DE∴DE⊥平面APQ∴AP⊥DE.但P在BC的延长线上。… 12分
法二(Ⅱ)以点D为坐标原点,直线DB、DC为x轴、y轴,建立空间直角坐标系,
设CD=a,则AC=BC=2a , AD=DB=
则A(0,0,
),B(
,0,0),
C(0,
.…… 5分
取平面CDF的法向量为
设平面EDF的法向量为
,
则
得
…6分
……7分
所以二面角E—DF—C的余弦值为
……8分
(Ⅲ)设
,
又
,……… 9分
……11分
把
,可知点P在BC的延长线上
所以在线段BC上不存在点P使AP⊥DE.……12分
略