如图(1)在等腰 中,D,E,F分别是AB,AC和BC边的中点, ,

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  • 法一(I)如图:在△ ABC 中,由 E 、 F 分别是 AC 、 BC 中点,得 EF // AB ,

    又 AB

    平面 DEF , EF

    平面 DEF ,∴ AB ∥平面 DEF .………………4分

    (II)∵AD⊥CD,BD⊥CD,∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角,∴AD⊥BD,∴AD⊥平面BCD,取CD的点M,使EM∥AD,∴EM⊥平面BCD,过M作MN⊥DF于点N,连结EN,则EN⊥DF,

    ∴∠ MNE 是二面角 E — DF — C 的平面角.……6分设CD=a,则AC=BC=2a , AD=DB=

    , △DFC中,设底边DF上的高为h由

    ,∴h=

    在Rt△ EMN 中, EM =

    , MN =

    h=

    ∴tan∠ MNE =2从而cos∠ MNE =

    ……8分

    (Ⅲ)在线段BC上不存在点P,使AP⊥DE,………… 9分

    证明如下:在图2中, 作AG⊥DE,交DE于G交CD于Q

    由已知得∠AED=120°,于是点G在DE的延长线上,

    从而Q在DC的延长线上,过Q作PQ⊥CD交BC于P

    ∴PQ⊥平面ACD ∴PQ⊥DE∴DE⊥平面APQ∴AP⊥DE.但P在BC的延长线上。… 12分

    法二(Ⅱ)以点D为坐标原点,直线DB、DC为x轴、y轴,建立空间直角坐标系,

    设CD=a,则AC=BC=2a , AD=DB=

    则A(0,0,

    ),B(

    ,0,0),

    C(0,

    .…… 5分

    取平面CDF的法向量为

    设平面EDF的法向量为

    …6分

    ……7分

    所以二面角E—DF—C的余弦值为

    ……8分

    (Ⅲ)设

    ,……… 9分

    ……11分

    ,可知点P在BC的延长线上

    所以在线段BC上不存在点P使AP⊥DE.……12分