Question

（2014•唐山三模）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，AC⊥BC，A1B⊥C1C，AC=

Answer 1

解题思路：（1）由A₁A⊥BC，A₁A⊥A₁B证明A₁A⊥平面A₁BC，进而证明A₁A⊥A₁C；（2）通过空间直角坐标系中向量的运算求余弦值．

（1）∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，AC⊥BC，

∴BC⊥平面A₁ACC₁，

∴A₁A⊥BC，

∵A₁B⊥C₁C，A₁A∥CC₁

∴A₁A⊥A₁B，

∴A₁A⊥平面A₁BC，

∴A₁A⊥A₁C；

（Ⅱ）建立如图所示的坐标系C-xyz．

设AC=BC=2，

∵A₁A=A₁C，

则A（2，0，0），B（0，2，0），A₁（1，0，1），C（0，0，0）．

CB=（0，2，0），

CA1=（1，0，1），

A1B1=

AB=（-2，2，0）．

设

n1=（a，b，c）为面BA₁C的一个法向量，则

n1•

CB=

n1•

CA1=0，

则

2b＝0

a+c＝0取a=1，

n1=（1，0，-1）．

同理，面A₁CB₁的一个法向量为

n2=（1，1，-1）．

∴cos＜

n1，

n2＞=

n1•

n2

.

n1

.

.

n2

.=

6

3，

∴二面角B-A₁C-B₁的余弦值为

6

3．

点评：

本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．

考点点评： 本题考查了线面垂直的判定定理，用到了面面垂直的定义，也考查了在空间直角坐标系中求角的方法，属于中档题．