你先告诉我你所说是下面的哪个（2已知,关键是另一个）,然后我再考虑
1.(连续性,Dedekind)实轴的切割不产生新的点.
2.(连续性,Bolzano)实数集的非空上有界子集必有上确界.
3.(连续性)单调有界数列必收敛.
4.(连续性,Cantor)闭区间套非空.
5.(紧性,Weierstrass)有界数列必有收敛子列.
6.(紧性,Heine-Borel)有界闭区间的开覆盖有有限子覆盖
7.(完备性,Cauchy)实轴上的基本序列收敛.
顺便提一句,连续性、紧性、完备性只在欧氏空间等价,所以不要混用.
1楼看来真是全忘了,这个是数学分析的基础,不是实分析,虽然没必要去区分这两者.
OK.就证这两个.
2=>5:
若数列A_n落在区间[-M,M]上,考察集合
A={x:[-M-2,x]包含A_n的最多有限项}
那么A非空(至少包含-M-1)且上有界(M是一个上界),必存在上确界,记u=supA.
在(u,u+1)中取A_n的一项A_k_1.
在(u,u+1/m)中取A_n一项A_k_m,使得k_m>k_{m-1},由A的定义,这样的项肯定存在.
这样找到了A_n的一个子列A_k_m,容易用极限的定义说明A_k_m收敛到u.
5=>2:
设X是实数集的非空上有界子集,Y是它的上界全体.(此构造同样适用于1=>2,并且是直接得结论)
若X有最大值,那么supX=maxX,即上确界存在.
以下讨论X没有最大值的情况.
在X中任取一点记为A_0,在Y中任取一点记为B_0.
取C_n=(A_n+B_n)/2,若X中存在比C_n大的元素a,那么A_{n+1}=a,B_{n+1}=B_n；
否则A_{n+1}=A_n,B_{n+1}=C_n.
于是B_n是一个有界数列(A_0