Question

数列题,求和（1） （a-1）+(a^2-2)+……+(a^n-n)(2) 1+2x+3x^2+……nx^(n-1)请写

Answer 1

(1)

（a-1）+(a^2-2)+……+(a^n-n)

=(a+a^2+…+a^n)-(1+2+…+n)

1+2+…+n=n(n+1)/2

如果a=1,则a+a^2+…+a^n=n

那么原式=n-n(n+1)/2=n(1-n)/2

如果a ≠ 1,则a+a^2+…+a^n=a*(1-a^n)/(1-a)

那么原式=a*(1-a^n)/(1-a)-n(n+1)/2

(2)

令S=1+2x+3x^2+…+nx^(n-1) ①

当x=1时,S=1+2x+3x^2+…+nx^(n-1）

=1+2+3+…+n

=n(1+n)/2

如果x≠ 1时

xS=x+2x^2+3x^3+…+(n-1)x^(n-1)+nx^n ②

①-②得 (1-x)S=1+x+x^2+…+x^(n-1)-nx^n

=(1-x^n)/(1-x)-nx^n

则S=(1-x^n)/(1-x)^2-nx^n/(1-x)