Question

设线性方程组AX=有解,其中A是m乘n介矩阵.证明：AX=B有唯一解的充要条件是A转置与A的乘积是正定的.

Answer 1

因为 AX=B有解,所以 r(A)=r(A,B)

所以此时

AX=B 有唯一解

r(A)=n

AX=0 只有零解

x≠0时 Ax ≠ 0

x≠0时 (Ax)^T(Ax) > 0 (A是实矩阵)

x≠0时 x^T(A^TA)x >0

A^TA 正定.