任意凸四边形ABCD,设它的面积为S,证明:S≤AB*CD+AC*BD

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  • 托勒密定理,不会自己百度

    任意凸四边形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,当且仅当ABCD四点共圆时取等号sin∠AOB=sin∠BOC=sin∠COD=sin∠AOD=sinα,

    四边形ABCD的面积=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD,

    S△AOB=0.5*OA*OB*sin∠AOB;

    S△BOC=0.5*OB*OC*sin∠BOC;

    S△COD=0.5*OC*OD*sin∠COD;

    S△AOD=0.5*OA*OD*sin∠AOD;

    左右两边相加,得:

    S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=0.5*OA*OB*sin∠AOB+0.5*OB*OC*sin ∠BOC+0.5*OC*OD*sin∠COD+0.5*OA*OD*sin∠AOD

    =0.5sinα(OA*OB+OB*OC+OC*OD+OA*OD)

    =0.5sinα[OB*(OA+OC)+OD*(OA+OC)]

    =0.5sinα(OA+OC)*(OB+OD)

    =0.5sinα*m*n

    =1/2*m*n*sinα

    即四边形的面积为1/2*m*n*sinα(对角线mn)我觉得应该2S≤AB*CD+AC*BD