设齐次方程次数m
令y=ux
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
M(x,ux)dx+N(x,ux)d(ux)=0
x^m*M(1,u)dx+x^m*N(1,u)*(xdu+udx)=0
(x^m*M(1,u)+x^m*u*N(1,u))dx+x^(m+1)*N(1,u)du=0
那么这就是分离系数的形式,有积分因子 U=1/[x^(m+1)*(M(1,u)+uN(1,u))]
(1/x)dx+N(1,u)/(M(1,u)+uN(1,u))du=0
而U=1/[x^(m+1)*(M(1,u)+uN(1,u))]
=1/[x*M(x,y)+y*N(x,y)]
得证