Question

请问有哪位数学高手帮我证明一下矩阵性质(AB)C=A(BC)

Answer 1

设n阶矩阵为A=(aij),B=(bij),C=(cij),AB=(dij),BC=(eij),(AB)C=(fij),A(BC)=(gij)

由矩阵的乘法得

dij=ai1*b1j+ai2*b2j+...+ain*bnj,i,j=1,2,...,n,

eij=bi1*c1j+bi2*c2j+...+bin*cnj,i,j=1,2,...,n,

fij=di1*c1j+di2*c2j+...+din*cnj,i,j=1,2,...,n,

gij=ai1*e1j+ai2*e2j+...+ain*enj,i,j=1,2,...,n,

故对任意j=1,2,...,n有,

fij=di1*c1j+di2*c2j+...+din*cnj

=(ai1*b11+ai2*b21+...+ain*bn1)*c1j+(ai1*b11+ai2*b21+...+ain*bn1)*c2j+...+(ai1*b1n+ai2*b2n+...+ain*bnn)*cnj

=ai1(b11*c1j+b12*c2j+...+b1n*cnj)+ai2(b21*c1j+b22*c2j+...+b2n*cnj)

+...+ain(bn1*c1j+bn2*c2j+...+bnn*cnj)

=ai1*e1j+ai2*e2j+...+ain*enj=gij

故(AB)C=A(BC).