Question

已知集合A={x|x2+px+q=0}，B={x|qx2+px+1=0}，其中p、q≠0，同时满足：①A∩B≠空集，②（

Answer 1

解题思路：条件①是说集合A、B有相同的元素，条件②是说-2∈A但-2∉B，A、B是两个方程的解集，方程x²+px+q=0和qx²+px+1=0的根的关系的确定是该题的突破口，求p、q的值．

设x₀∈A，则x₀≠0，否则将有q=0与题设矛盾．

于是由x₀²+px₀+q=0，两边同除以x₀²，得q(

1

x0)2+

p

x0+1＝0，

知[1

x0∈B，故集合A、B中的元素互为倒数．

由①知存在x₀∈A，使得

1

x0∈B，且x₀=

1

x0，

得x₀=1或x₀=-1．

由②知A={1，-2}或A={-1，-2}．

若A={1，-2}，

则B={1，-

1/2]}，有

p＝−(1−2)＝1

q＝1×(−2)＝−2

同理，若A={-1，-2}，

则B={-1，-[1/2]}，得p=3，q=2．

综上，p=1，q=-2或p=3，q=2．

点评：

本题考点： 集合关系中的参数取值问题．

考点点评： 本题考查了二次函数的性质及方程的根与系数的关系，考查了分类讨论的思想，考查的知识点比较全面，是一道中档题．