Question

如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点

Answer 1

（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，

∵正方形CDEF的面积为1，

∴CD=CF=1，

根据圆和正方形的轴对称性知：OP=PC=n，

∴BC=2PC=2n，

∵而PB=PE，

∴PB ²=BC ²+PC ²=4n ²+n ²=5n ²，PE ²=PF ²+EF ²=（n+1） ²+1，

∴5n ²=（n+1） ²+1，

解得：n=1或n=-

1

2 （舍去），

∴BC=OC=2，

∴B点坐标为（2，2）；

（2）证明：如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0），

∵A，C在抛物线上，

∴

c=2

1

4 ×4+2b+c=0 ，

解得：

c=2

b=-

3

2 ，

∴抛物线的解析式为：y=

1

4 x ²-

3

2 x+2=

1

4 （x-3） ²-

1

4 ，

∴抛物线的对称轴为x=3，即EF所在直线，

∵C与G关于直线x=3对称，

∴CF=FG=1，

∴MF=

1

2 FG=

1

2 ，

在Rt△PEF与Rt△EMF中，

∠EFM=∠EFP，

∵

FM

EF =

1

2

1 =

1

2 ，

EF

PF =

1

2 ，

∴

FM

EF =

EF

PF ，

∴△PEF ∽ △EMF，

∴∠EPF=∠FEM，

∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°，

∴ME是⊙P的切线；

（3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，

则有AQ=A′Q，

∴△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，

∵A与A′关于直线x=3对称，

∴A（0，2），A′（6，2），

∴A′C=

(6-2) 2 +2 2 =2

5 ，而AC=

2 2 + 2 2 =2

2 ，

∴△ACQ周长的最小值为2

2 +2

5 ；

②当Q点在F点上方时，S=S _梯形ACFK-S _△AKQ-S _△CFQ=

1

2 ×（3+1）×2-

1

2 ×（2-t）×3-

1

2 ×t×1=t+1，

同理，可得：当Q点在线段FN上时，S=1-t，

当Q点在N点下方时，S=t-1．