Question

问个三角函数题已知在三角形ABC中,向量a=（√5sin[(A+B)/2]/2,COS[(A-B)/2]),向量a的模为

Answer 1

|MA|+|MB|=2|AB|=4c,这是一个椭圆.以AB为x轴,其中垂线为y轴建立坐标系,则椭圆方程为x^2/4c^2+y^2/3c^2=1 .要C最大,且tanA·tanB =1/9＞0,定有A、B都是锐角.另外,tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(9/8)(tanA+tanB)＞0,知（A+B)仍为锐角,从而（A+B)越小C就越大.又tanA+tanB≥2√[(tanAtanB)]=2/3,由三角函数性质知当tanAtanB=2/3时,C最大 .又由tanA+tanB=2/3且tanA·tanB =1/9,可解得tanA=tanB=1/3.知三角形ABC为等腰三角形,从而点C的坐标可设为（0,c/3）.动点M(x,y)与顶点C(0,c/3)的距离的平方d^2=x^2+（y-c/3）^2= 4c^2-（4y^2）/3+（y-c/3）^2=-y^2/3-2cy/3+37c^2/9,（-√3c≤y≤√3c）.所以,y=-c时,d^2的最大值为40c^2/9.即动点M与顶点C的距离的最大值为2√10c/3.