Question

一道定积分的计算综合题 （P121 15题）

Answer 1

1）原式两边求导：f'(lnx)=1/(x+1)

2)做变量代换 t=lnx,则x=e^t,

f'(t)=1/(e^t+1)

3)两边积分：

f(t)=∫1/(e^t+1)dt=∫e^t/e^t*(e^t+1)dt=∫1/e^t*(e^t+1)d(e^t)

=∫1/e^t-1/(e^t+1)d(e^t)=ln(e^t)-ln(e^t+1)+C=t-ln(e^t+1)+C

即f(x)=x-ln(e^x+1)+C

∫将f(0)=0带入,则C=ln2

f(x)=x-ln(e^x+1)+ln2