Question

均值不等式难题,已知abcd>a^2+b^2+c^2+d^2,abcd为实数,求证：abcd>a+b+c+d+8.

Answer 1

∵a²+b²+c²+d² ≥ 2ab+2cd ≥ -(a²+b²+c²+d²),

∴(a²+b²+c²+d²)² ≥ (2ab+2cd)² = 4a²b²+4c²d²+8abcd ≥ 16abcd.

∵abcd > a²+b²+c²+d² ≥ 0,

∴(abcd)² > (a²+b²+c²+d²)² ≥ 16abcd, 进而有abcd > 16.

∴2abcd > abcd+16 > a²+b²+c²+d²+16 = (a²+4)+(b²+4)+(c²+4)+(d²+4) ≥ 4a+4b+4c+4d,

即abcd > 2a+2b+2c+2d.

又∵abcd > 16, 故2abcd > 2a+2b+2c+2d+16, 即abcd > a+b+c+d+8.