Question

直线经过点（2,1）,与两坐标轴的正半轴相交,求这条直线与坐标轴围成的三角形的周长的最小值.

Answer 1

设三角形三个顶点坐标分别为O(0,0),A(a,0),B(0,b),其中a>0,b>0

设角OAB=α,α∈(0,π/2),则：

OA=a=2+1/tanα

OB=b=1+2tanα

AB=1/sinα+2/cosα

周长=OA+AB+BO=3+1/tanα+2tanα+1/sinα+2/cosα

=1+(3tan(α/2)+1)/(tan(α/2)-(tan(α/2))^2)

令tan(α/2)=x,x∈(0,1),则：

周长=1+(3x+1)/(x-x^2)

=1+3/(5/3-(x+1/3+(4/9)/(x+1/3)))

>=1+3/(5/3-4/3)=10

当且仅当x+1/3=(4/9)/(x+1/3)时,即x=1/3时,周长取最小值10.

此时A(10/3,0),B(0,5/2)