设P（x,y,z）为空间内一点,则点P也可用这样三个有次序的数r,φ,θ来确定,其中r为原点O与点P间的距离,θ为有向线段与z轴正向所夹的角,φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角,这里M为点P在xOy面上的投影.这样的三个数r,φ,θ叫做点P的球面坐标,这里r,φ,θ的变化范围为
r∈[0,+∞),
φ∈[0,2π],
θ∈[0,π] .
当r,θ或φ分别为常数时,可以表示如下特殊曲面:
r = 常数,即以原点为心的球面；
θ= 常数,即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；
φ= 常数,即过z轴的半平面.
球坐标系下的微分关系:
在球坐标系中,沿基矢方向的三个线段元为：
dl(r)=dr,dl(θ)=rdθ,dl(φ)=rsinθdφ
球坐标的面元面积是：
dS=dl(θ)× dl(φ)=r2sinθdθdφ
体积元的体积为：
dV=dl(r)×dl(θ)×dl(φ)= r2sinθdrdθdφ
对于球壳转动惯量：
设以z坐标为轴的转动惯量J；球壳面积密度ρ；回转半径Rsinθ；
dJ=ρ(Rsinθ)2 dS
球壳半径为常数,dS =R2sinθdθdφ
J=2∫02∏∫0∏/2 ρ(Rsinθ)2 R2sinθdθdφ ;取半壳积分
=2ρR4∫02∏∫0∏/2 sinθ3 dθdφ
=8/3 ρ∏R4
ρ=球壳质量M/球壳面积S
S=2∫02∏∫0∏/2 R2sinθdθdφ=4∏R2
把ρ=M/(4∏R2)代入得
得 J=2/3 MR2