Question

（2013•营口二模）考察下列式子：1＝0+1，2+3+4＝1+8，5+6+7+8+9＝8+27，10+11+12+13

Answer 1

解题思路：由图表可猜想：第n行的连续的2n-1个数的和为：（（n-1）²+1）+（（n-1）²+2）+…+（（n-1）²+2n-1）=（n-1）³+n³．

∵等式的左边第一行一个数是1，为1²；第二行三个数，为2，3，4，最后一个数是2²；第三行五个数，为5，6，7，8，9，最后一个数是3²，…

∴可猜想：第n-1行左端最后一个数是（n-1）²，右端为：（n-2³+（n-1）³，

∴第n行左端第一个数是（n-1）²+1，有连续的2n-1个数相加，等式右端为：（n-1）³+n³，

即：（（n-1）²+1）+（（n-1）²+2）+…+（（n-1）²+2n-1）=（n-1）³+n³．

证明：①当n=1时，左端=1=右端，等式成立；

②假设当n=k时等式成立，即（（k-1）²+1）+（（k-1）²+2）+…+（（k-1）²+2k-1）=（k-1）³+k³，

则当n=k+1时，

（[（k+1）-1]²+1）+（[（k+1）-1]²+2）+…+（[（k+1）-1]²+2k-1）+（[（k+1）-1]²+2k）+（[（k+1）-1]²+2k+1）

=[（（k-1）²+1）+2（k-1）+1]+[（（k-1）²+2）+2（k-1）+1]+…+[（（k-1）²+2k-1）+2（k-1）+1]+（[（k+1）-1]²+2k）+（[（k+1）-1]²+2k+1）

=（（k-1）²+1）+（（k-1）²+2）+…+（（k-1）²+2k-1）+[2（k-1）+1]（2k-1）+（[（k+1）-1]²+2k）+（[（k+1）-1]²+2k+1）

=（k-1）³+k³+（2k-1）（2k-1）+k²+2k+k²+2k+1

=k³+[（k-1）³+6k²-4k+4k+2]

=k³+（k³-3k²+3k-1+6k²-4k+4k+2）

=k³+（k³+3k²+3k+1）

=k³+（k+1）³

=[（k+1）-1]³+（k+1）³．

即n=k+1时，等式也成立．

综合①②可知，对任意n∈N^*，（（n-1）²+1）+（（n-1）²+2）+…+（（n-1）²+2n-1）=（n-1）³+n³成立．

点评：

本题考点： 数学归纳法；归纳推理．

考点点评： 本题考查数学归纳法，考查观察、猜想能力及论证推理能力，猜想出结论是关键，属于难题．