人教A版普通高中数学课程标准实验教科书（选修4-5）《不等式选讲》是根据教育部制订的《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的选修4系列第5专题“不等式选讲”的要求编写的.
根据课程标准,本专题介绍一些重要的不等式和它们的证明、数学归纳法和它的简单应用.
一、内容与要求
1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式.
2．理解绝对值的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
（1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；
（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a.
3．认识柯西不等式的几种不同形式.理解它们的几何意义.
（1）证明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α·β|.
（2）证明：（a2+b2）(c2+d2)≥(ac+bd)2.
（3）证明：
≥ .
4．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：
5．用向量递归方法讨论排序不等式.
6．了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题.
7．会用数学归纳法证明贝努利不等式：
(1＋x)n ＞1＋nx（x＞-1,n为正整数）.
了解当n为实数时贝努利不等式也成立.
8．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.
9．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
二、内容安排
本专题内容分成四讲,结构如下图所示：
本专题的内容是在初中阶段掌握了不等式的基本概念,学会了一元一次不等式、一元一次不等式组的解法,多数学生在学习高中必修课五个模块的基础上展开的．作为一个选修专题,教科书在内容的呈现上保持了相对的完整性．
第一讲是“不等式和绝对值不等式”,它是本专题的最基本内容,也是其余三讲的基础．
本讲的第一部分类比等式的基本性质,从“数与运算”的基本思想出发讨论不等式的基本性质,这是关于不等式在运算方面的一些最基本法则．接着讨论基本不等式,介绍了基本不等式的一个几何解释：“直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高”,并把基本不等式推广到三个正数的算术—几何平均不等式．对于一般形式的均值不等式,则只作简单介绍,不给出证明．在此基础上,介绍了它们在解决实际问题中的一些应用,如最基本的等周问题,简单的极值问题等.
第二部分讨论了有关绝对值不等式的性质及绝对值不等式的解法．绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念,讨论关于绝对值的不等式具有重要的意义．
绝对值三角不等式是一个基本的结论,教科书首先引导学生借助于实数在数轴上的表示和绝对值的几何意义,引导学生从数的运算角度探究归纳出绝对值三角不等式,接着联系向量形式的三角不等式,得到绝对值三角不等式的几何解释,最后用代数方法给出证明．这样,数形结合,引导学生多角度认识这个不等式,逐步深化对它的理解．利用绝对值三角不等式可以解决形如 的函数的极值问题,教科书安排了一个这样的实际问题.
对于解含有绝对值的不等式,教科书只讨论了两种特殊类型不等式的解法,而不是系统地对这个问题进行研究.教科书引导学生探讨了形如 或 的不等式的解法,以及形如 或 的不等式的解法．学生通过这两类含有绝对值的不等式能够基本学到解含有绝对值的不等式的一般思想和方法.
第二讲是“证明不等式的基本方法”．对于不等式的深入讨论必须首先掌握一些基本的方法,所以本讲内容也是本专题的一个基础内容.本讲通过一些比较简单的问题,介绍了证明不等式的几种常用而基本的方法：比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法．
比较法是证明不等式的最基本的方法,比较法可以分为两种,一种是相减比较法,它的依据是：
另一种是相除比较法,是把不等式两边相除,转化为比较所得商式与1的大小关系,它的依据是：当b＞0时,
在比较法的两种方法中,相减比较法又是最基本而重要的一种方法.
在证明不等式的过程中,根据对于不等式的条件和结论不同探索方向作分类,证明方法又可以分为分析法和综合法.在证明不等式时,可以从已知条件出发逐步推出结论的方法是综合法；寻找结论成立的充分条件,从而证明不等式的方法就是分析法．
证明不等式的方法还可以分为直接证法和间接证法,反证法是一种间接证法．它从不等式结论的反面出发,即假设要证明的结论不成立,经过正确的推理,得出矛盾结果,从而说明假设错误,而要证的原不等式结论成立．
在证明不等式的过程中,有时通过对不等式的某些部分作适当的放大或缩小达到证明的目的,这就是所谓的放缩法．
教科书对以上方法都结合实例加以介绍.本讲内容对进一步讨论不等式提供了思想方法的基础．
本讲的教学内容中,用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容.
第三讲是“柯西不等式和排序不等式”．本讲介绍两个基本的不等式：柯西不等式和排序不等式,以及它们的简单应用．
柯西不等式是基本而重要的不等式,是推证其他许多不等式的基础,有着广泛的应用．教科书首先介绍二维形式的柯西不等式,再从向量的角度来认识柯西不等式,引入向量形式的柯西不等式,再介绍一般形式的柯西不等式,以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.
在介绍了二维形式的柯西不等式的基础上,教科书引导学生在平面直角坐标系中,根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系,从几何意义上发现二维形式的三角不等式.接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式.在一般形式的柯西不等式的基础上,教科书安排了一个探究栏目,让学生通过探究得出一般形式的三角不等式.
排序不等式也是基本而重要的不等式,一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形,例如不等式 ．有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明.教科书在讨论排序不等式时,展示了一个“探究——猜想——证明——应用”的研究过程,目的是引导学生通过自己的数学活动,初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用.
柯西不等式、三角不等式和排序不等式也是数学课程标准正式引入到高中数学教学中.
第四讲是“数学归纳法证明不等式”．本讲介绍了数学归纳法及其在证明不等式中的应用．对于某些不等式,必须借助于数学归纳法证明,所以在不等式选讲的专题中安排这个内容是很有必要的.教科书首先结合具体例子,提出寻找一种用有限步骤处理无限多个对象的方法的问题．然后,类比多米诺骨牌游戏,引入用数学归纳法证明命题的方法,并分析了数学归纳法的基本结构和用它证明命题时应注意的问题（两个步骤缺一不可）．接着举例说明数学归纳法在证明不等式中的应用,特别地,证明了贝努利不等式.