解题思路:(I)由题意知f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2,f(1)=1,由上此可推出f(a)=a.
(II)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0
所以对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0,因为f(x0)=x0,所以x0-x02=0,故x0=0或x0=1.由此可推导出f(x)=x2-x+1(x∈R).
(I)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x
所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2
又由f(2)=3,得f(3-22+2)=3-22+2,即f(1)=1
若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.
(II)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0
所以对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0
在上式中令x=x0,有f(x0)-x02+x0=x0
又因为f(x0)=x0,所以x0-x02=0,故x0=0或x0=1
若x0=0,则f(x)-x2+x=0,即f(x)=x2-x
但方程x2-x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾.故x0≠0
若x0=1,则有f(x)-x2+x=1,即f(x)=x2-x+1,此时f(x)=x有且仅有一个实数1.
综上,所求函数为f(x)=x2-x+1(x∈R)
点评:
本题考点: 函数解析式的求解及常用方法.
考点点评: 本题考查函数的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.