Question

设定义在R上的函数f（x）=sin n ωx+cos n ωx（ω＞0，n∈N * ）的最小正周期为T．

Answer 1

解（1）当n=1，f（1）=1时，sinω+cosω=1（ω＞0），

化简得 sin(ω+

π

4 )=

2

2 ，…2分

因为ω＞0，所以 (ω+

π

4 ) min =

3π

4 ，即 ω min =

π

2 ，

所以，T的最大值为8．…6分

（2）当n=4时，f（x）=sin ⁴ωx+cos ⁴ωx

=（sin ²ωx+cos ²ωx） ²-2sin ²ωxcos ²ωx

=1-2（sinωxcosωx） ²
= 1-

1

2 si n 2 2ωx

= 1-

1

2 (

1-cos4ωx

2 )

=

1

4 cos4ωx+

3

4 （ω＞0），…10分

因为 T=

2π

4ω =4 ，所以 ω=

π

8 ，…12分

此时， f(x)═

1

4 cos

πx

2 +

3

4 ，所以 f(1)=

3

4 ．…14分