Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意a、b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有 f(a)+f(b) a+b

Answer 1

设-1≤x ₁＜x ₂≤1，则x ₁-x ₂≠0，

∴

f( x 1 )+f(- x 2 )

x 1 +(- x 2 ) ＞0．

∵x ₁-x ₂＜0，∴f（x ₁）+f（-x ₂）＜0．

∴f（x ₁）＜-f（-x ₂）．

又f（x）是奇函数，∴f（-x ₂）=-f（x ₂）．

∴f（x ₁）＜f（x ₂）．

∴f（x）是增函数．

（1）∵a＞b，∴f（a）＞f（b）．

（2）由f（x-

1

2 ）＜f（x-

1

4 ），得

-1≤x-

1

2 ≤1

-1≤x-

1

4 ≤1

x-

1

2 ＜x-

1

4 ∴-

1

2 ≤x≤

5

4 ．

∴不等式的解集为{x|-

1

2 ≤x≤

5

4 }．

（3）由-1≤x-c≤1，得-1+c≤x≤1+c，

∴P={x|-1+c≤x≤1+c}．

由-1≤x-c ²≤1，得-1+c ²≤x≤1+c ²，

∴Q={x|-1+c ²≤x≤1+c ²}．

∵P∩Q=∅，

∴1+c＜-1+c ²或-1+c＞1+c ²，

解得c＞2或c＜-1．