Question

已知m,n,a,b都是正数,证明a^(m+n)+b^(m+n)>=a^mb^n+a^nb^m

Answer 1

a^(m+n)+b^(m+n)-a^mb^n-a^nb^m

=a^ma^n+b^mb^n-a^mb^n-a^nb^m

=(a^ma^n-a^mb^n)+(b^mb^n-a^nb^m)

=a^m(a^n-b^n)+b^m(b^n-a^n)

=(a^m-b^m)(a^n-b^n) (**)

分类讨论：

(1)若 a>=b,则 a^m>=b^m,a^n>=b^n,所以(**)式为非负数；

(2)若 a