Question

设n为正整数，且64n-7n能被57整除，证明：82n+1+7n+2是57的倍数．

Answer 1

解题思路：由于64ⁿ-7ⁿ能被57整除，则可设64ⁿ-7ⁿ=57m（m为正整数），即8²ⁿ=57m+7ⁿ，根据幂的乘方得到和提公因数得到8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²=8×8²ⁿ+49×7ⁿ=8（57m+7ⁿ）+49×7ⁿ=57（8m+7ⁿ），于是可得到8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²是57的倍数．

证明：∵64ⁿ-7ⁿ能被57整除，

∴64ⁿ-7ⁿ=57m（m为正整数），即8²ⁿ=57m+7ⁿ，

∴8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²=8×8²ⁿ+49×7ⁿ
=8（57m+7ⁿ）+49×7ⁿ
=57（8m+7ⁿ），

∴8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²是57的倍数．

点评：

本题考点： 因式分解的应用．

考点点评： 本题考查了因式分解的应用：运用因式分解的方法可简化运算．