Question

在已知椭球体x2/a2+y2/b2+z2/c2=1内一切内接长方体（各面分别平行于坐标面）中,求其体积最大者.

Answer 1

由对称性,设长方体的一个顶点为(x0,y0,z0)在第一卦限

则长方体体积为8*x0*y0*z0,由平均值不等式：

1 = x0^2 / a^2 + y0^2 / b^2 + z0^2 / c^2 >=

3 * [x0*y0*z0/(a*b*c)] ^ (2/3)

所以体积最大值为8 * (1/3)^(3/2) * abc

取等条件为x0/a = y0/b = z0/c = (1/3)^(1/2)