Question

已知抛物线y=-x2+2x+m-1与x轴有两个交点A、B．

Answer 1

解题思路：（1）根据抛物线与x轴有两个交点，判别式△＞0，列式求解即可；

（2）把点A的坐标代入进行计算求出m的值，再把m的值代入抛物线解析式整理即可得解，把解析式配方写成顶点式，写出点C的坐标即可；

（3）根据同底等高的三角形面积相等可得点P到x轴的距离等于点C到x轴的距离，再根据点P在x轴下方，把点P的纵坐标代入抛物线解析式求出点P的横坐标即可得解．

（1）∵抛物线与x轴有两个交点，

∴△>0，

即b²-4ac=2²-4×（-1）×（m-1）=4+4m-4=4m>0，

解得m>0；

（2）∵A的坐标为（-1，0），

∴-（-1）²+2×（-1）+m-1=0，

解得m=4，

∴抛物线解析式为y=-x²+2x+4-1=-x²+2x+3，

即y=-x²+2x+3，

∵y=-x²+2x+3=-（x²-2x+1）+3+1=-（x-1）²+4，

∴顶点C的坐标为（1，4）；

（3）存在点P（1-2

2，-4）或（1+2

2，-4）．

理由如下：∵△PAB和△CAB都以AB为底边，

∴只要AB边上的高相等，则面积相等，

根据（2），点C的坐标为（1，4），

∴点C到AB的距离为4，

∴可以找到在x轴下方的点P，使S_△PAB=S_△CAB，此时点P的纵坐标为-4，

-x²+2x+3=-4，

整理得，x²-2x-7=0，

解得x=

-b±

b2-4ac

2a=

-(-2)±

(-2)2-4×1×(-7)

2×1=1±2

2，

∴存在点P（1-2

2，-4）或（1+2

2，-4）使S_△PAB=S_△CAB．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题综合考查了二次函数，根的判别式的应用，待定系数法求二次函数解析式，同底等高的三角形的面积相等的性质，把点A的坐标代入抛物线解析式求出m的值是解题的关键．