Question

（2012•朝阳区二模）已知数列An：a1，a2，…，an（n∈N*，n≥2）满足a1=an=0，且当2≤k≤n（K∈N

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由题设，即可满足条件的数列A₅的所有可能情况；

（Ⅱ）确定当c₁，c₂，…，c_n-1的前[n−1/2]项取1，后[n−1/2]项取-1时S（A_n）最大，此时S（A_n）=

(n−1)+(n−2)+…+

n+1

2

−(

n−1

2

+…+2+1)

=

(n−1)

2

4

．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，如果c₁，c₂，…，c_n-1的前[n−1/2]项中恰有t项

c

m

1

，

c

m

2

，…，

c

m

t

取-1，c₁，c₂，…，c_n-1的后[n−1/2]项中恰有t项

c

n

1

，

c

n

2

，…，

c

n

t

取1，则

S(

A

n

)＝

(n−1)

2

4

−2

t

i＝1

(

n

i

−

m

i

)

，利用条件，分n是奇数与偶数，即可得到结论．

（Ⅰ）由题设，满足条件的数列A₅的所有可能情况有：

（1）0，1，2，1，0．此时S（A₅）=4；（2）0，1，0，1，0．此时S（A₅）=2；

（3）0，1，0，-1，0．此时S（A₅）=0；（4）0，-1，-2，-1，0．此时S（A₅）=-4；

（5）0，-1，0，1，0．此时S（A₅）=0；（6）0，-1，0，-1，0．此时S（A₅）=-2；

所以，S（A₅）的所有可能的值为：4，2，0，-2，-4．…（4分）

（Ⅱ）由(ak−ak−1)2＝1，

可设a_k-a_k-1=c_k-1，则c_k-1=1或c_k-1=-1（2≤k≤n，k∈N^*），

因为a_n-a_n-1=c_n-1，所以 a_n=a_n-1+c_n-1=a_n-2+c_n-2+c_n-1=…=a₁+c₁+c₂+…+c_n-2+c_n-1．

因为a₁=a_n=0，所以c₁+c₂+…+c_n-1=0，且n为奇数，c₁，c₂，…，c_n-1是由[n−1/2]个1和[n−1/2]个-1构成的数列．

所以S（A_n）=c₁+（c₁+c₂）+…+（c₁+c₂+…+c_n-1）=（n-1）c₁+（n-2）c₂+…+2c_n-2+c_n-1．

则当c₁，c₂，…，c_n-1的前[n−1/2]项取1，后[n−1/2]项取-1时S（A_n）最大，

此时S（A_n）=(n−1)+(n−2)+…+

n+1

2−(

n−1

2+…+2+1)=

(n−1)2

4．

证明如下：

假设c₁，c₂，…，c_n-1的前[n−1/2]项中恰有t项cm1，cm2，…cmt取-1，则c₁，c₂，…，c_n-1的后[n−1/2]项中恰有t项cn1，cn2，…，cnt取1，其中1≤t≤

n−1

2，1≤mi≤

n−1

2，[n−1/2＜ni≤n−1，i=1，2，…，t．

所以S（A_n）=(n−1)c1+(n−2)c2+…+

n+1

2c

n−1

2]+

n−1

2c

n+1

2+…+2cn−2+c

点评：

本题考点： 数列的应用．

考点点评： 本题考查数列知识的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，难度大．