Question

设椭圆C：x2╱a2＋y2╱b2＝1(a＞b＞0)的离心率e为根号2╱2,点A是椭圆上的一点,且A到椭圆C两焦点的距离之

Answer 1

1.求椭圆C的方程.

2.椭圆C上一动点P(X0,Y0)关于直线y=2x的对称点P1(X1,Y1),求3X1-4Y1的取值范围

A到两焦点的距离之和为4,即2a=4,a=2

e=c/a=√2/2,则c=根号2

c^2=a^2-b^2

2=4-b^2,b^2=2

即方程是:x^2/4+y^2/2=1.

因为点P1与点P关于直线y=2x对称,有

（yo+y1）/2=2*（xo+x1）/2 ①

（yo-y1）/（xo-x1）=-0.5 ②

整理得 x1= （4yo-3xo）/5 y1=(4x0+3y0)/5

代入3x1-4y1=-5x0

又点A在椭圆上,所以-2≤xo≤2,所以-10≤xo≤10

所以取值范围为[-10,10]

以下仅供参考：

A在椭圆上

可设x0=2cosθ,y0=根号2*sinθ

A(2cosθ,根号2*sinθ)

过A做垂直直线2x-y=0的直线L

所以直线L斜率=-1/2

所以直线L y-根号2*sinθ=-1/2(x-2cosθ)

该直线与2x-y=0的交点M

M(2/5(根号2*sinθ+cosθ),4/5(根号2*sinθ+cosθ))

所以A关于M的对称点P

x1=(4根号2*sinθ-6cosθ)/5

y1=(3倍根号2sinθ+8cosθ)/5

所以3x1-4y1=10cosθ

所以 -10≤3x1-4y1≤10