Question

能使2n+256是完全平方数的正整数n的值为______．

Answer 1

解题思路：由于n的取值范围不能确定，故应分n≤8和n＞8两种情况进行讨论，当n≤8时原式可化为2ⁿ+256=2ⁿ（1+2^8-n），若它是完全平方数，则n必为偶数，再分别把n≤8的所有偶数代入进行验证；当n＞8时，原式可化为2ⁿ+256=2⁸（2^n-8+1），若它是完全平方数，则2^n-8+1为一奇数的平方，再根据奇数的定义即可求出k的值．

当n≤8时，2ⁿ+256=2ⁿ（1+2^8-n），若它是完全平方数，则n是2的倍数．

若n=2，则2ⁿ+256=2²×65；

若n=4，则2ⁿ+256=2⁴×17；

若n=6，则2ⁿ+256=2⁶×5；

若n=8，则2ⁿ+256=2⁸×2．

所以，当n≤8时，2ⁿ+256都不是完全平方数．

当n＞8时，2ⁿ+256=2⁸（2^n-8+1），若它是完全平方数，则2^n-8+1为一奇数的平方．

设2^n-8+1=（2k+1）²（k为自然数），则2^n-10=k（k+1）．

由于k和k+1一奇一偶，

且是2的n-10次方，符合要求的只有1×2，

所以k=1，于是2^n-10=2，

故n=11．

故答案为：11．

点评：

本题考点： 完全平方数．

考点点评： 本题考查的是完全平方数及奇数与偶数，解答此题时要注意分n≤8和n＞8两种情况进行讨论，此题难度较大．