Question

已知函数f（x）=loga（ax2-x+3）在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是 ___ ．

Answer 1

解题思路：将原函数f（x）=log_a（ax²-x+3）看成是函数：y=log_aμ，μ=ax²-x+3的复合函数，利用对数函数与二次函数的单调性来研究即可．注意对数的真数必须大于0．

设μ=ax²-x+3．

则原函数f（x）=log_a（ax²-x+3）是函数：y=log_aμ，μ=ax²-x+3的复合函数，

①当a＞1时，因μ=log_ax在（0，+∞）上是增函数，

根据复合函数的单调性，得

函数μ=ax²-x+3在[2，4]上是增函数，

∴

a×22-2+3＞0

1

2a≤2

∴a＞1．

②当0＜a＜1时，因μ=log_ax在（0，+∞）上是减函数，

根据复合函数的单调性，得

函数μ=ax²-x+3在[2，4]上是减函数，

∴

a×42-4+3＞0

1

2a≥4

∴[1/16]＜a≤

1

8．

综上所述：a∈(

1

16，

1

8]∪(1，+∞)

故答案为：(

1

16，

1

8]∪(1，+∞)．

点评：

本题考点： 复合函数的单调性．

考点点评： 本题考查复合函数的单调性，指数函数的单调性，二次函数的单调性．是基础题．熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间．理解并掌握判断复合函数单调性的方法：同增异减．