Question

已知平面上的动点P(x,y)及两定点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB的斜率分别是k1,k2,且k1·k2=-

Answer 1

由题意得

yx+2

•

yx−2

=-

14

（x≠±2）,即x²+4y²-4=0．

所以点P的轨迹C的方程为

x24

+y²=1（x≠±2）．

（2）证明：设M（x₁,y₁）,N（x₂,y₂）,

联立方程

y＝kx+mx24+y2＝1

,得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0．

所以x₁+x₂=

−8km4k2+1

,x₁x₂=

4m2−44k2+1

．

所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

m2−4k24k2+1

．

又k_BM•k_BN=-

14

,即

y1x1−2

•

y2x2−2

=-

14

,

即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+4y₁y₂=0．

代入并整理得m（m+2k）=0,即m=0或m=-2k,

当m=0时,直线l恒过原点；

当m=-2k时,直线l恒过点（2,0）,但不符合题意．

所以直线l恒过原点．