被积函数√(x^2-a^2)/x＝√[1-(a/x)^2]
设 a/x＝sinθ,则 x＝a/sinθ,那么
∫√(x^2-a^2)/xdx
＝∫√[1-(a/x)^2]dx
＝∫√[1-(sinθ)^2]·d(a/sinθ)
＝∫cosθ·[-acosθ/(sinθ)^2]·dθ
＝a·∫-(cotθ)^2·dθ
＝a·∫[1-(csc)^2]dθ
＝a(θ+cotθ) + C (注意：用到了“d(cotθ)＝-(cscθ)^2·dθ”这一结论）
因 a/x＝sinθ,cosθ＝√[1-(a/x)^2],θ＝arcsin(a/x),故
cotθ＝cosθ/sinθ＝[√(x^2-a^2)]/a,
所以 ∫√(x^2-a^2)/xdx＝a·arcsin(a/x) + √(x^2-a^2) + C.