Question

已知定义在实数集上的函数fn（x）=xn，n∈N*，其导函数记为fn′（x），且满足：f2′[x1+1λ(x2−x1)]

Answer 1

解题思路：（1）利用求导公式求函数的导数，令n=2，代入等式求λ；

（2）利用导数公式求函数的导数，画图求函数的单调性，根据导数求极值；

（3）利用导数求导和利用数学归纳法，在当a=1时和当a≥2时的条件下证明．

（1）f₂′（x）=2x，∴2[x₁+[1/λ]（x₂-x₁）]=

x22−

x21

x2−x1

∴x₂+x₁=2x₁+[2/λ]（x₂-x₁）⇒λ=2

（2）令y=F（x）=f_2n-1（x）•f_n（1-x）=x^2n-1•（1-x）ⁿ，则

①当n=1时，y=x-x²，y′=1-2x，令y′=0，得x=[1/2]，x∈（-∞，[1/2]），y′＞0

x∈（[1/2]，+∞），y′＜0，所以，当x=[1/2]时，y极大=[1/4]，无极小值；

②当n≥2时，y′=-n（1-x）^n_•x2n-1+（2n-1）x^（2n-2）．（1-x）^n=_x2n-1．（1-x）n[（2n-1）-（3n-1）x]

令y′=0则x₁=0，x₂=[2n−1/3n−1]，x₃=1且x_1^＜x_2^＜x₃

①当n为正偶数时，随x的变化，y′和y的变化如下：

当n为正偶数时，随x的变化，y'与y的变化如下：

x （-∞，0） 0 （0，

2n-1

3n-1）

2n-1

3n-1 （

2n-1

3n-1，1） 1 （1，+∞）

y' + 0 + 0 - 0 +

y 极大值 极小值 所以当x=

2n-1

3n-1时，y_极大=

（2n-1）2n-161nn

（3n-1）3n-1；当x=1时，y_极小=0．…（7分）

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 该题考查函数的求导公式，和数学归纳法的使用，注意画图，有点难度