解题思路：如图所示．连接BC，EF．由于DC是△ABC的外接圆的切线，可得∠DCB=∠EAF．已知BC•AE=DC•AF，可得[BC/AF＝
DC
AE]．进而得到△BCD≌△FAE．于是∠CBD=∠AFE．由于E，F，C四点共圆．可得∠AFE=∠CBE．
于是∠CBD=∠CBE．进而得到∠CBE=90°．AC是△ABC的外接圆的直径，CE是E，F，C四点所在圆的直径．
不妨设DB=1．则BE=EA=DB=1．利用切割线定理可得：DC2=DB•DA．在△DCE中，由DB=BE，CB⊥DE．可得CE=DC．
在Rt△CBE中，CB2=CE2-BE2．在Rt△ABC中，AC2=BC2+AB2．可得：过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值=
π(
CE
2
)
2
π(
AC
2
)
2
=
C
E
2
A
C
2
即可得出．
如图所示．
连接BC，EF．∵DC是△ABC的外接圆的切线，∴∠DCB=∠EAF．
∵BC•AE=DC•AF，∴[BC/AF＝
DC
AE]．
∴△BCD≌△FAE．
∴∠CBD=∠AFE．
∵E，F，C四点共圆．
∴∠AFE=∠CBE．
∴∠CBD=∠CBE．
又∵∠CBD+∠CBE=180°，∴∠CBE=90°．
∴AC是△ABC的外接圆的直径，CE是E，F，C四点所在圆的直径．
不妨设DB=1．则BE=EA=DB=1．
由切割线定理可得：DC2=DB•DA=1×3，DC＝
3．
在△DCE中，由DB=BE，CB⊥DE．∴CE=DC=
3．
在Rt△CBE中，CB2=CE2-BE2=(
3)2−12＝2．
在Rt△ABC中，AC2=BC2+AB2=2+22=6．
∴过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值=
π(
CE
2)2
π(
AC
2)2=
CE2
AC2=[3/6]=[1/2]．
故答案为：[1/2]．
点评：
本题考点： 圆的切线的性质定理的证明．
考点点评： 本题综合考查了圆的性质、切割线定理、四点共圆的性质、相似三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、圆的面积之比等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
1年前
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