解题思路：由奇偶性的定义，即可判断①；求出导数，令它为0，检验是否极值点，即可判断②；
令f′（x）=0，得x=0，则切点为（0，1），求得切线，即可判断③；由单调性，假设存在，由f（a）=a+1，f（b）=b+1．求得a，b，即可判断④．
①f（-x）=-x3+1≠-f（x），故函数f（x）不是奇函数，故①错；②f′（x）=3x2，在x=0处附近导数均大于0，故x=0不是函数f（x）的极值点，故②错；③令f′（x）=0，得x=0，则切点为（0，1），切线为y=1．故③正确；④...
点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．
考点点评： 本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性、单调性以及极值、切线问题，属于基础题．