若x≥1,y≥1,z≥1,xyz=10,且x^(lgx) • y^(lgy) • z^(lgz)

2个回答

  • 令lgx=a,lgy=b,lgz=c

    则x=10^a,y=10^b,z=10^c

    则x^(lgx)=(10^a)^2,y^(lgy)=(10^b)^2,z^(lgz)=(10^c)^2

    有x^(lgx)×y^(lgy)×z^(lgz)=10则可转换为 10^(a^2 *b^2 *c^2)=10

    即有a^2 *b^2 *c^2=1……………………1式

    已知xyz=10,则有10^(a+b+c)=10

    即有 a+b+c=1……………………2式

    且x,y,z>=1,则a=lgx>=0,同理a,b,c>=0……………………………3式

    由123式可知,abc中必有一个为1,另两个为0

    (原因:a^2+b^2+c^2=a2+b2+(1-a-b)2=2(a^2+b^2+ab+a+b)+1=1,所以a^2+b^2+ab+a+b=0,且a,b>=0,左边>=3ab+2根号ab>=0,Min时,a=b=0,c=1,abc三者等同)

    所以对于x=10^a,y=10^b,z=10^c

    x=1,y=1,z=10; 或x=10,y=1,z=1;或x=1,y=10,z=1.

    所以x+y+z=12