解题思路：1、本题可根据三角形全等证得DE=AF，AD=EF，即可知四边形ADEF是平行四边形
2、要使四边形ADEF是矩形，必须让∠FAD=90°，则∠BAC=360°-90°-60°-60°=150°
证明：（1）∵等边△ABD、△BCE、△ACF，
∴DB=AB，BE=BC．
又∠DBE=60°-∠EBA，
∠ABC=60°-∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC．
∴△DBE≌△CBA．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴AF=DE．
同理可证：△ABC≌△FCE，证得EF=AD．
∴四边形ADEF是平行四边形．
（2）假设四边形ABCD是矩形，
∵四边形ADEF是矩形，
∴∠DAF=90°．
又∵等边△ABD、△BCE、△ACF，
∴∠DAB=∠FAC=60°．
∴∠BAC=360-∠DAF-∠FAC-∠DAB=150°．
当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．
点评：
本题考点： 平行四边形的判定；等边三角形的性质；矩形的判定．
考点点评： 此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定．