（Ⅰ）∵f′（x）=x 2+2ax-b，∴f′（1）=1+2a-b，
又因为函数在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行，所以在x=1处的切线的斜率等于1，∴f′（1）=1∴b=2a①
∵f（x）有极值，故方程f′（x）=x 2+2ax-b=0有两个不等实根∴△=4a 2+4b＞0∴a 2+b＞0②
由①．②可得，a 2+2a＞0∴a＜-2或a＞0
故实数a的取值范围是a∈（-∞，-2）∪（0，+∞）
（（Ⅱ）存在a=-
8
3 …（5分）
由（1）可知f′（x）=x 2+2ax-b，令f′（x）=0∴x 1=-a-
a 2 +2a ，x 2=-a+
a 2 +2a
∴f（x） 极小=f（x 2）=
1
3 x23+ax 2 2-2ax 2+1=1，
∴x 2=0或x 2 2+3ax 2-6a=0
若x 2=0，则-a+
a 2 +2a =0，则a=0（舍），
若x 2 2+3ax 2-6a=0，又f′（x 2）=0，∴x 2 2+2ax 2-2a=0，
∴ax 2-4a=0
∵a≠0∴x 2=4
∴-a+
a 2 +2a =4，
∴a=-
8
3 ＜2∴存在实数a=-
8
3 ，使得函数f（x）的极小值为1．
（Ⅲ）由g（x）=
f ′ (x)-2ax+b-1
x -2lnx=
x 2 +2ax-b-2ax+b-1
x -2lnx=x-
1
x -2lnx
故g′（x）=1+
1
x 2 -
2
x =
x 2 -2x+1
x 2 =
(x-1) 2
x 2 ＞0，
则g（x）在（1，+∞）上是增函数，故g（x）＞g（1）=0，
所以，g（x）在（1，+∞）上恒为正．
当n是正整数时，
n+1
n ＞1，设x=
n+1
n ，则
g（
n+1
n ）=
n+1
n -
n
n+1 -2ln
n+1
n
=1+
1
n -1+
1
n+1 -2[ln（n+1）-lnn]
=
1
n +
1
n+1 -2[ln（n+1）-lnn]＞0，
即
1
n +
1
n+1 ＞2[ln（n+1）-lnn]
上式分别取n的值为1、2、3、…、n-1（n＞1）累加得：
（
1
1 +
1
2 ）+（
1
2 +
1
3 ）+（
1
3 +
1
4 ）+…+
1
n-1 +
1
n
＞2[ln2-ln1+ln3-ln2+ln4-ln3+…lnn-ln（n-1）]
∴1+2（
1
2 +
1
3 +
1
4 +…
1
n-1 ） +
1
n ＞2lnn
2（1+
1
2 +
1
3 +
1
4 +…
1
n-1 +
1
n ）＞2lnn+1+
1
n
∴1+
1
2 +
1
3 +
1
4 +…
1
n-1 +
1
n ）＞lnn+
1
2 （1+
1
n ）
即lnn+
1
2 （1+
1
n ）＜
n
i-1
1
i ，（n＞1）
又当n=1时，lnn+
1
2 （1+
1
n ）=
n
i-1
1
i ，
故ln n+
1
2 （1+
1
n ）≤
n
i-1
1
i ，当且仅当n=1时取等号．